RESUMEN

Se presenta con este estudio la aplicación del Análisis Clúster (AC) como método exploratorio de datos en registros múltiples de información pluviométrica. Se empleó el análisis multivariado en 150 estaciones de medición de precipitación mensual localizadas en el departamento del Valle del Cauca, Colombia. Se utilizaron las técnicas de Encadenamiento Simple, Ward y Centroide como métodos jerárquicos de aglomeración y la Distancia Euclídea al Cuadrado (DEC) como medida de similitud. El objetivo principal del estudio consistió en comprobar la hipótesis que las estaciones atípicas, es decir, aquellas que el AC agrupa individualmente (cambio en la varianza y la media), son de tipo no homogéneo. Se utilizó un análisis exploratorio gráfico y cuantitativo con series univariadas para comprobar dicha hipótesis. Los resultados mostraron que mediante el AC se pueden obtener las estaciones no homogéneas, como también las estaciones cuyo comportamiento no es representa tivo de la muestra, dado que los grupos formados por esta técnica tienden a contener elementos muy parecidos entre sí, como los de máxima homogeneidad, excluyendo los que no pertenecen a esta clasificación.

PALABRAS CLAVE

Análisis cluster, Análisis exploratorio de datos, Datos meteorológicos, Recursos hídricos

ABSTRACT

Cluster Analysis (CA) like method of exploratory data in multiple records weather data, multivariate analysis was applied to 150 rainfall month stations located in the Valle del Cauca departamet – Colombia was applied and reported in this paper. Simple Clustering techniques, Ward and Centroid such as hierarchical clustering methods and the Square of the Euclidean distance as similarity measure was used. The main objective of the study has been to prove that atypical stations are inconsistency and non-homogeneity, unvaried exploratory analysis like quantitative and graphical methods was employed to confirm this hypothesis. The outcomes showed that Cluster Analysis was successful to find non - homogeneity stations and non representative stations too, because clusters contains very similar elements to each other, avoiding maximum homogeneity elements.

KEY WORDS

Cluster Analysis, Exploratory data, meteorological data, Water resources

1. INTRODUCCIÓN

El paso de los años la recolección de información pluviométrica (IP) ha mejorado; sin embargo, los registros en los que se basa la meteorología aplicada son deficientes, tanto en calidad como en cantidad. Las series pluviométricas siguen presentando falta de información, cambios, tendencias y datos atípicos; estas condiciones pueden afectar los resultados obtenidos en la modelación o simulación. Para el uso correcto de la IP en la ingeniería de los recursos hídricos, ésta debe cumplir con el supuesto de estacionariedad, consistencia y homogeneidad, sin dejar aparte la independencia.

Existen procesos naturales y antropogénicos que alteran significativamente la IP y que pueden ocasionar cambios y tendencias en las series de tiempo analizadas; es importante sañalar que estas variaciones también pueden deberse al cambio climático, un fenómeno relativamente reciente que está alterando el clima y la distribución temporal y espacial de la precipitación, ocasionando recurrencia de sequías e inundaciones. Con el fin de determinar cambios y/o tendencias en la IP se hace necesario el Análisis Exploratorio de Datos (AED). El uso de la información sin previa evaluación de su estructura, consistencia y homogeneidad, constituye un enfoque de caja negra que incrementa el grado de incertidumbre sobre la validez de los resultados obtenidos en cualquier experimentación (Lobo, 2004).

En los últimos años el uso del AC en el campo de la hidrología ha sido exitoso; muestra de ello son las aplicaciones que ha tenido en la regionalización de cuencas para el análisis de frecuencia de caudales máximos y mínimos, la estimación de tormentas de corta duración, la determinación de zonas ciclónicas y la determinación de regiones homogéneas de precipitación, entre otras (Burn & Goel, 2000; Dinpashoh et al., 2004; Rao & Srinivas, 2006). El análisis clúster es un método multivariado de clasificación que no requiere de supuestos previos (normalidad, estacionariedad, etc.) y es eminentemente exploratorio. Dado que los grupos se forman por similaridad entre los elementos que componen el mismo, se podría asumir que aquellos elementos que se agrupen solos representan diferencias significativas con el resto. Bajo esa suposición, podría decirse que el AC puede usarse para clasificar las estaciones meteorológicas y suponer que aquellas que se agrupan solas representan una condición atípica con respecto a sus vecinas o presentan deficiencias en sus registros. Para comprobar la anterior hipótesis, se presenta en este estudio un análisis exploratorio de datos utilizando AC. Una vez conseguidos los grupos y determinadas aquellas estaciones que se agrupan solas, se aplica un AED con el fin de comprobar que las estaciones que no lograron unirse a ningún grupo son atípicas. Para ello se utilizaron registros de 150 estaciones de precipitación ubicadas en el departamento del Valle del Cauca. El artículo contiene la descripción de la zona de estudio, un breve resumen del AC y las técnicas de agrupación y similitud empleadas; una descripción teórica del AED gráfico y cuantitativo y, por último, los resultados, la discusión y las conclusiones.

2. METODOLOGÍA

Zona de Estudio

El análisis se realizó para los registros pluviométricos de las estaciones ubicadas en el departamento del Valle del Cauca (Figura 1). La región se localiza en el suroccidente colombiano, comprende 42 municipios y presenta, dentro de sus límites políticos, tres regiones bien definidas: la Costa Pacífica, el valle interandino del río Cauca y la región andina a la que corresponden las cordilleras Occidental y Central. Según Escobar et al. (2006), en la Costa Pacífica las precipitaciones alcanzan hasta los 1200 mm anuales. Los periodos secos corresponden a los meses de junio, julio y agosto, con valores de precipitación entre 0 y 50 mm mensuales, y los meses más húmedos son septiembre, octubre y noviembre, con variación en la precipitación entre 100 y 200 mm mensuales. En la parte del Alto Cauca se presentan precipitaciones que varían entre los 1200 mm y los 2300 mm anuales. (registrados estos últimos en algunas estaciones localizadas en las costas más altas), el páramo de Santa Teresa (9°C) y las máximas en la Costa Pacífica (>25°C).

Los factores que afectan la distribución espacial y temporal de la precipitación en el Valle del Cauca son debidos al patrón general de circulación atmosférica, el relieve afectado por la presencia de la Cordillera Occidental, la convección profunda, la distancia al Océano Pacífico y la vegetación. Actualmente en el departamento se cuenta con 150 estaciones pluviométricas, ubicadas principalmente en el valle geográfico del río Cauca y administradas por la Corporación Autónoma Regional del Valle del Cauca (CVC). Los datos utilizados en la presente investigación son de carácter mensual, con un periodo de registro de 30 años (1974-2003) en todas las estaciones. La IP presenta datos faltantes, los cuales no superan el 10% del total de los datos; éstos fueron estimados por medio del método de ponderación normal, posterior al proceso de estandarización de los datos.
Materiales y Métodos

Para realizar el AED aplicando las técnicas de agrupación o análisis clúster, se procedió, en primer lugar, a estandarizar los registros de precipitación, se estimaron los datos faltantes y, seguidamente, se aplicaron medidas de similitud (distancia euclídea al cuadrado - DEC) y, formación de grupos jerárquicos por los métodos de encadenamiento medio, Ward y centroide. Una vez formados los grupos y determinadas aquellas estaciones solitarias, se procedió a aplicar el AED gráfico y cuantitativo para confirmar la hipótesis de que todas las estaciones atípicas son aquellas que no lograron entrar a ninguno de los grupos encontrados en el AC.

El Análisis Clúster (AC)

Es un método estándar del análisis multivariado que puede reducir una compleja cantidad de información en pequeños grupos o clústers, donde los miembros de cada uno de ellos comparten características similares (Lin & Chen, 2006). El AC se considera una técnica eminentemente exploratoria que no utiliza ningún tipo de modelo estadístico para llevar a cabo el proceso de clasificación (Hair et al., 1999; Peterson, 2002) y, por ello, se le podría calificar como una técnica de aprendizaje no supervisado, es decir, una técnica muy adecuada para extraer información de un conjunto de datos sin imponer restricciones previas en forma de modelos estadísticos (Barrios & Carvajal, 2006).

El AC tiene por objeto formar grupos o clústers homogéneos en función de las similitudes o similaridades entre ellos (Peña, 2002). Los grupos se forman de tal manera que cada objeto es parecido a los que hay dentro del clúster con respecto a algún criterio de selección predeterminado (Rao & Srinivas, 2006; Hair et al., 1999). Las técnicas de agrupamiento en el AC se pueden clasificar en dos categorías: el clúster jerárquico y el no jerárquico.

Los procedimientos jerárquicos consisten en la construcción de una estructura en forma de árbol. Existen dos tipos de procedimientos de obtención de clústers jerárquicos: los de aglomeración y los divisivos. Dentro de los métodos jerárquicos aglomerativos se tienen: (i) método de encadenamiento simple, (ii) métodos de encadenamiento completo, (iii) método de encadenamiento medio, (iv) método de Ward, y (v) método del centroide (Hair et al., 1999). Estos procedimientos difieren en la forma como se calcula la distancia entre los conglomerados, entre los que se encuentran la DEC, Manhattan, coeficiente de correlación de Pearson, Chevichev y Cosine. El clúster por medio de técnicas no jerárquicas no requiere de procesos de construcción de árboles; en su lugar, asignan los objetos a clústers una vez que el número de grupos a formar esté especificado. Los procedimientos de aglomeración no jerárquicos se denominan frecuentemente agrupaciones de k – medias, k – medianas y k – modas. Una desventaja con respecto a la técnica jerárquica consiste en que debe conocerse a priori el número de clústers a obtener, lo que implica un grado de subjetividad en el proceso (Peterson, 2002). A pesar de lo anterior, se considera un método dinámico en el sentido en que los objetos dentro de los clústers se pueden mover de un clúster a otro, minimizando la distancia entre objetos dentro de un mismo clúster (Rao & Srinivas, 2006). Pese a las ventajas del método de aglomeración no jerárquico, en este artículo se presenta la aplicación del método jerárquico dado el interés de no querer asignar a priori el número de grupos a formar. A continuación se describen las técnicas empleadas en el análisis clúster y el método de similitud utilizado.

Encadenamiento medio entre grupos. Mide la proximidad entre dos grupos calculando la media de las distancias entre objetos de ambos grupos o las medias de las similitudes entre objetos de ambos grupos. Algunos autores, como Hair et al. (1999), afirman que el método está sesgado a formar conglomerados con aproximadamente la misma varianza.

Método de Ward. Este proceso de aglomeración tiene como objetivo establecer grupos de tal forma que la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de cada variable (que en este caso corresponde a la estación pluviométrica) es mínima para todas las estaciones al mismo tiempo. Este procedimiento tiende a combinar los conglomerados con un número reducido de observaciones y a formar grupos con aproximadamente el mismo número de grupos (Rao & Srinivas, 2006).

Método del centroide. En este método la distancia entre los grupos se define como la distancia entre sus centroides. El centroide de cada grupo o clúster es a su vez el promedio de las posiciones de todos los puntos dentro del clúster. En este método, cada vez que se agrupa a los individuos se calcula nuevamente el centroide; así el centroide cambia a medida que se fusionan los grupos (Hair et al., 1999).

La distancia euclídea al cuadrado (DEC). Es el cuadrado de la suma de las diferencias al cuadrado de dos elementos en la variable o variables consideradas; la distancia se expresa como:

(1)

donde es el cuadrado de la DEC entre el objeto i y el objeto j, representa el valor estandarizado de la variable m para el objeto i, es el valor estandarizado de la variable m para el objeto j (Castellarin et al., 2001).

El AC es un método multivariado sensible al uso de datos no estandarizados y, más aún, si la medida de similitud usada es la DEC, como es el caso de estudio. Peña (2002) y Castellarin et al. (2001) expresan que la falta de estandarización genera inconsistencias entre las soluciones clúster, dado que la medida de la distancia entre objetos se ve afectada por el rango numérico de variación entre variables.

Si cada una de las variables se mide en una escala diferente, el orden de las similitudes puede variar con sólo un cambio en la escala de una de ellas. Existen diversos métodos de estandarización; algunos pueden ser vistos en Rao & Srinivas (2006) y Lin & Chen (2006), pero el método más usado es la conversión de cada variable a unas puntuaciones estándar restando la media y dividiendo por la desviación estándar típica de cada variable. Este proceso convierte cada puntuación de los datos originales en un valor estandarizado con media cero y desviación estándar uno (1).
Una vez estandarizados los datos mensuales de las 150 estaciones de precipitación, se procedió a calcular la DEC y a formar los grupos por los métodos de encadenamiento medio, Ward y el centroide. En el método de encadenamiento medio el proceso parte inicialmente con un máximo número de grupos a formar, en este caso 150; posteriormente busca el par más cercano y se unen formando un nuevo y único grupo, continuando de esta forma hasta que se forme un solo clúster que contiene a todas las estaciones originales (Hartigan, 1975). La búsqueda del par más cercano requiere comparar entre sí todas las distancias euclídeas al cuadrado.

Análisis exploratorio univariado de información pluviométrica

El AED consta básicamente de métodos gráficos y cuantitativos que permiten visualizar gráficamente y cuantificar matemáticamente la estacionariedad, los cambios y las tendencias en la serie. Los métodos gráficos, como herramienta exploratoria de los datos, muestran de forma gráfica las características de una distribución, la presencia de cambios, saltos, tendencias y relaciones entre variables, que de otra manera no podrían ser descubiertas (Maidment, 1993). Los métodos cuantitativos, en cambio, hacen uso de herramientas estadísticas y matemáticas para comprobar la estacionariedad, la presencia de tendencias y los cambios en los registros.

Análisis Gráfico. El AED por método gráfico debería ser el primer análisis a realizar antes de cualquier análisis confirmatorio o cuantitativo. Dentro del análisis exploratorio gráfico se recomienda utilizar: (a) la gráfica de serie de tiempo con el propósito de observar cambios, saltos y tendencias; (b) el diagrama de cajas, para ver gráficamente estadígrafos, tales como, la mediana, la desviación estándar y los datos atípicos; (c) la gráfica de doble masa, que permite detectar cambios o errores en las series ;y, (d) la gráfica de normalidad, para comprobar si la distribución de los datos mensuales se ajusta a una distribución normal (Castro & Carvajal-Escobar, 2006).

Análisis Cuantitativo. Después de realizar el AED por medio gráfico conviene realizar un análisis confirmatorio con el fin de comprobar estadísticamente lo que por medio visual se detectó. Para realizar esto existen numerosas pruebas estadísticas paramétricas y no paramétricas; el uso de una u otra dependerá de la cantidad y la calidad de la información disponible. Las pruebas pueden ser consultadas en detalle en Castro & Carvajal-Escobar (2010).

3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Aplicación de Análisis Clúster

En la Figura 1 se muestra, a modo de ejemplo y aplicando el método de encadenamiento simple, el total de las estaciones, asignándoles un círculo a aquellas que se clasificaron en algún grupo. Según la hipótesis inicial, aquellas estaciones que se agrupan de forma independiente representan estaciones con algún tipo de inconsistencia; esta hipótesis fue comprobada con el análisis exploratorio y confirmatorio de datos univariado aquellas representadas con una X y a aquellas que quedaron sin clasificación. A todas aquellas estaciones que se agruparon solas se les aplicó el AED gráfico y cuantitativo con el propósito de confirmar la hipótesis inicial, las cuales se identificaron con un símbolo de aprobación ().

Figura 1.Representación de los grupos de estaciones formados – 60 clusters

Se verificó la aplicabilidad del AC como método multivariado para el AED, comparando los resultados obtenidos de aplicar los tres métodos jerárquicos de aglomeración (encadenamiento medio, Ward y centroide) con los resultados del estudio realizado por CVC (2006), donde se aplicaron técnicas estadísticas para verificar la calidad de la información pluviométrica del Valle del Cauca. Se encontró que de 150 estaciones de precipitación presentes en la zona de estudio, 37 tenían registros no homogéneos desde el punto de vista gráfico y cuantitativo.
El resultado de la aplicación de los métodos jerárquicos con el uso de la DEC como medida de similitud se puede observar en la Tabla 1, en la cual se presenta el número de estaciones que se agrupan solas (atípicas), y de ellas, cúales son no homogéneas, es decir, tienen una variación en los parámetros estadísticos como media, varianza y momentos de orden superior. A partir de estos resultados se encontro que los métodos de encadenamiento medio y del centroide son los más susceptibles a las estaciones atípicas y tienden a agrupar estaciones de forma independiente desde el inicio del proceso de aglomeración. Posiblemente la razón de ello es que los

Figura 2.Resultados gráficas series de tiempo, diagramas de caja y gráfico de normalidad

grupos formados en el AC tienden a contener elementos muy parecidos entre sí (máxima homogeneidad) y a excluir a los que no lo son.

Para los tres métodos, a medida que aumenta el número de clústers aumenta el número de estaciones no homogéneas escogidas, pero asimismo aumenta el número de estaciones atípicas a analizar por métodos de exploración univariados; algo que resultaría inoperante en términos de ahorro de tiempo. Es por ello que a partir del análisis efectuado, se realizaron varias pruebas y se determinó la mitad del número total de estaciones analizadas, en este caso 75, como valor óptimo de clusters para detectar el mayor número de estaciones no homogéneas en el método de encadenamiento medio.

Para un agrupamiento de 75 clusters, el método de encadenamiento medio permitió separar el 56.25%, que representan 18 del total de estaciones no homogéneas, mientras que el método de Ward solamente el 37.5% que constituyen 12 estaciones; de otro lado, el método del centroide permitió separar el 75% de las estaciones no homogéneas (24), siendo más eficiente en este sentido; no obstante, fue el menos eficiente (32.98%) al seleccionar 73 estaciones atípicas, de las cuales 24 eran no homogéneas, mientras que con el encadenamiento medio, la eficiencia fue de 42.45%, al separar 43 estaciones atípicas de un total de 18 no homogéneas.

Análisis exploratorio y cuantitativo de datos

En la Tabla 1 se presentan los resultados del análisis Clúster; con éstos se verificó cuales de las estaciones atípicas obtenidas por los métodos de encadenamiento medio resultaban ser no homogéneas a partir del análisis exploratorio unitario. Para realizar este análisis se requiere que los datos de las estaciones no estén estandarizados; es decir, se utiliza la información origi-

Tabla1. Resultados del análisis Clúster. 1Estaciones atípicas, 2. estaciones no homogéneas, 3. % efectividad 4. % De estaciones no homogéneas

nal registrada en las estaciones. En primera instancia se aplicó el análisis gráfico usando la gráfica de serie de tiempo y el diagrama de cajas como elementos visuales, los cuales permitieron determinar si la serie presentaba tendencias o cambios; además, se eleboraron las gráficas Q-Q con el fin de comprobar si los datos de cada estación se distribuían normalmente o no, para asimismo aplicar pruebas paramétricas, o no paramétricas según correspondiera. La prueba de normalidad usada fue la de Kolmogorov – Smirnov con un nivel de significancia del 5%.
La Tabla 2 muestra el resultado de las pruebas estadís ticas aplicadas a las estaciones que se agruparon solas después del proceso de aglomeración. Algunas pruebas gráficas muestran que la mayoría de las estaciones no presentan comportamiento normal, a excepción de Yurumanguí, y cinco de ellas no son estacionarias, pues mostraron tendencias, cambios y saltos en la representación gráfica de las series de tiempo y diferencias en el valor de la mediana en el diagrama de cajas.

Los resultados del análisis confirmatorio se presentan en la Tabla 3, la cual muestra que la mayoría de los regis-

Tabla 2. Resultados de las pruebas estadísticas aplicadas a las estaciones que se agruparon solas después del proceso de aglomeración. ES: estacionariedad , NT: no tiene tendencia según la prueba de Spearman , 1.Spearman , 2. Bartlett, 3.Levene, 4. F – Fisher, 5. Contraste de signos, 6. Rangos signados de Wilcoxon, 7. Mann – Whitney, 8. Kruskal – Walls, 9. Prueba t

Tabla 3. Resultados análisis exploratorios de datos - análisis gráfico

ST: serie de tiempo
DC: diagrama de cajas
GN: gráfica de normalidad
PN: prueba de normalidad Kolmogorov Smirnov
A: acepta la prueba
R: rechaza la prueba
NA: no aplica

tros de las estaciones no se distribuyen normalmente se usaron pruebas paramétricas para el análisis de la estabilidad de la varianza. Algunos autores, como Castro & Carvajal-Escobar (2010), recomiendan el uso de la prueba F- Fisher, sea o no sea infringida la prueba de normalidad, porque es una prueba robusta cuando se trata de probar las hipótesis alternas de la prueba; es este el caso en el que las varianzas difieren. Se comprobó que efectivamente 7 estaciones (Bosque, Yurumanguí, El Tigre, La Italia, Santa Teresa, Providencia y Brisas) de las 12 estaciones atípicas (las que se agrupan de forma independiente) presentan variación en los parámetros estadísticos (media, varianza), es decir, son no homogéneas. Estos resultados fueron coincidentes con los mostrados en el estudio realizado por la CVC (2006), donde se aplicaron técnicas estadísticas para verificar la calidad de la información climatológica del Valle del Cauca.

Las estaciones no homogéneas obtenidas del análisis clúster no pueden ser consideradas las únicas de este tipo, ya que dentro de los conglomerados formados es posible que existan estaciones con falta de estabilidad en la media o en la varianza o ambas (Barrios & Carvajal,
2006). La técnica jerárquica usada para la formación de clústers presenta la desventaja de dar una idea equívoca al presentar combinaciones iníciales indeseables que pueden persistir a lo largo del análisis, lo que podría llevar a resultados artificiales. Para que los resultados del análisis clúster sean aceptados con mayor certeza se requieren varias aplicaciones bajo condiciones cambiantes con las estaciones atípicas seleccionadas como dudosas, recalculando nuevamente clústers o usando diferentes medidas de similitud y métodos de aglomeración.

4. CONCLUSIONES

Como técnica de análisis multivariado el AC puede ser muy útil para reducir una compleja cantidad de información, pero debido a que su aplicación es más un arte que una ciencia se puede llegar a aplicar de forma errónea. Los métodos de aglomeración jerárquicos, no jerárquicos, híbridos, fuzzy, las medidas de similitud, la forma como se escoge el número óptimo de grupos e incluso los elementos de procedimiento, hacen que se presenten múltiples soluciones y que la decisión final sea tomada más de manera subjetiva que de forma objetiva.

El AC se asume con un notable grado de riesgo, ya que ofrece clasificaciones inexactas, incluso imponiendo grupos que realmente no existen. En la literatura consultada en muchos casos se afirma que esta técnica es un estigma metodológico, ya que algunas veces los grupos que se identifican no reflejan condiciones reales sino que son “simples artificios estadísticos supeditados a variaciones numéricas aleatorias entre clústers”, cuestionando su valor como método aplicativo a la investigación debido a los resultados equívocos a los que lleva a veces su utilización.

El resultado más interesante obtenido con este análisis clúster fue el hecho de que la gran mayoría de las estaciones que fueron identificadas como “no homogéneas” son estaciones que presentan un porcentaje de datos faltantes mayor al 10%.

Se estableció una metodología dentro de las pruebas cuantitativas que indica que las primeras pruebas a realizarse deben ser las de estabilidad en la varianza, debido a dos razones: la primera es si la serie de tiempo es inestable en la varianza, la serie no es estacionaria y, por lo tanto, no es conveniente usar la serie para un análisis; la segunda, porque hay pruebas de estabilidad de la media que requieren como principio la estacionariedad en la varianza.

El método de encadenamiento medio permitió seleccionar más estaciones homogéneas que el método del centroide, pero a su vez el método del centroide fue más eficaz en separar las estaciones anómalas. De los tres métodos, el de Ward arrojó los peores resultados.

5. AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Corporación Autónoma Regional del Valle del Cauca, a la Universidad del Valle, por el apoyo al proyecto, y al Grupo de Ingeniería de Recursos Hídricos y Desarrollo de Suelos IREHISA, especialmente a Andrés Fabián Barrios por su apoyo para la realización de este trabajo de investigación.

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Burn, D. H. y Goel, N. K. (2000). The formation of groups for regional flood frequency analysis. Hydrological Sciences Journal 45 (1), 97–112.

Barrios, A. F. y Carvajal, Y. (2006). Regionalización de índices de aridez y agresividad climática en Colombia utilizando análisis multivariado. Conformación estadística de una base de datos nacional homogénea .Tesis de grado. Universidad del Valle. Facultad de Ingeniería. Santiago de Cali

Castellarin, A., Burn, D. y Brath, A. (2001). Assessing the effectiveness of hydrological similarity measures for flood frequency analysis. Journal of Hydrology 241, pp 270-285.

Castro, L. y Carvajal, Y. (2010). Análisis de tendencia y homogeneidad de series climatológicas. Ingeniería de Recursos Naturales y del Ambiente, 9,15-25.

Corporación Autónoma Regional del Valle del Cauca (CVC) (2006) Aplicación de técnicas estadísticas en las series climatológicas mensuales totales de precipitación, evaporación y brillo solar, y medios mensuales de temperatura, con el fin de corregir, complementar y verificar la calidad de la información.

Dinpashoh, Y., Fakheri-Fard, A., Moghaddam, M., Jahanbakhsh, S. y Mirnia, M. (2004). Selection of variables for the purpose of regionalization of Iran’s precipitation climate using multivariate methods. Journal of Hydrology 297, pp 109–123.

Escobar, S., Aristizábal, H., Gonzalez, H., Sandoval, M.C. y Carvajal, Y. (2006). Elaboración y actualización de isolíneas de precipitación, brillo solar, evaporación y temperatura mensual en el Valle de Cauca y la cuenca del alto Cauca. VII Congreso Colombiano de Meteorología. Adaptación a la Variabilidad y al Cambio Climático.

Hair, J. F., Anderson, R. E., Tatham, R. I. y Black, W. (1999). Análisis Multivariante. 5 edición. Editorial Prentice Hall. Madrid.

Lin, G. y L. Chen. (2006). Identification of homogeneous regions for regional frequency analysis using the self-organizing map. Journal of Hydrology 324, pp 1–9.

Lobo, D. (2004). Guía Metodológica para la delimitación del mapa de zonas aridas, semiáridas y subhúmedas secas de América Latina y el Caribe. Centro del Agua para Zonas Áridas y Semiáridas de América Latina y El Caribe – CAZALAC – UNESCO PHI – Gobierno de Flandes.http://www.cazalac.org/mapa_alc_guia.php

Maidment, D., (1993). Handbook of Hydrology. McGRAW – HILL, INC. United States of America.

Peña, D. (2002). Análisis de Datos Multivariantes. Mc Graw - Hill. España.

Peterson, L. (2002).CLUSFAVOR 5.0: hierarchical cluster and principal-component analysis of microarray-based transcriptional profiles. Departments of Medicine, Molecular and Human Genetics, and Scott Department of Urology, Baylor College of Medicine, One Baylor Plaza, ST-924, Texas, USA. Genome Biology3:software0002.1-0002.8. Available in: http://genomebiology.com/2002/3/7/software/0002.

Rao, A. R. y Srinivas, V. (2006). Regionalization of watersheds by hybrid-cluster analysis. Journal of Hydrology, 318, pp 37–56.